只有看过《电磁通论》，才知道这就是一本非常不错的现代物理教材。向麦克斯韦致敬！
物理量和空间方向的关系
11．〕哈密顿方法的最重要特色之一，就在于把各个量区分为标量和矢量。
一个标量可以通过单独一个数字的指定来完全地定义。它的数值并不以任何方式依赖于我们所取的各坐标轴的方向。
一个矢量或有向量要求用三个数字的指定来定义它，而这些数字可以最简单地理解为参照了各坐标轴的方向。
标量不涉及方向。一个几何图形的体积、一个物质体的质量和能量、流体中一点处的流体静力学压强，以及空间中一点处的势，就是一些标量的例子。
一个矢量既有量值又有方向，而且当它的方向反转时它的正负号也反转。一个点的位移用从初位置到末位置一段直线来代表。这就可以看成典型的矢量，而事实上矢量一词正是由此得来的。
一个物体的速度、它的动量、作用在它上的力、一个电流、一个铁粒子的磁化强度，就是矢量的一些例子。
一个矢量和另一个同类矢量的相加，按照静力学中所给出的力的合成法则来进行。【编者评：矢量与矢量相乘，有特殊之处，有两种计算方式：（1）结果为标量的，叫点积，内积，数量积，标积，比如力和位移两个矢量的点积为功，功是标量，功代表力在距离上的累积。（2）结果仍为矢量，叫叉积，外积，向量积，矢积，它的几何意义是所得的向量与被乘向量所在平面垂直，方向由右手定则规定，大小是两个被乘向量张成的平行四边形的面积。所以向量积不满足交换律。比如力与力臂两个向量的叉积为力矩，力矩是矢量。】
在四元数算法中，一个点在空间中的位置用一个矢量来定义，该矢量从一个叫做原点的定点画到该点。如果我们必须考虑其值依赖于点的位置的任一物理量，那个量就被看成从原点画起的那个矢量的一个函数。函数本身可以是标量也可以是矢量。【编者评：函数其实就是一个矢量或标量，因为与其他矢量或标量有关系，所以有了函数关系.】一个物体的密度、它的温度、它的流体静力学压强、一个点上的势，就是标量函数的例子。一个点上的合力、流体中一点上的速度、流体的一个体积元的转动速度以及引起转动的力偶矩，就是矢量函数的例子。
12．〕物理矢量可以分成两类。一类矢量是参照一条直线来定义的，而另一类矢量是参照一个面积来定义的。
例如，一种吸引力在任一方向上的合力通过求得它在一个物体沿该方向移动一小段距时对物体所做的功并除以该段距离来加以量度。在这里，吸引力就是参照一条直线来定义的。
另一方面，固体中任一点上沿任一方向的热通量可以通过求得流过垂直于该方向的一个小面积的热量并除以该面积和时间来加以量度。在这里，通量就是参照一个面积来定义的。
也有某些情况，一个量既可以参照一个面积又可以参照一条直线来加以量度。
【编者评：终于了解到力是一种直线的研究方式，而通量是一种面积的研究方式。同样表示速度，因为力的研究对象就是点，所以，第一种方式的对象是点，通过某点在单位时间内通过的距离来体现，即这种快慢是以直线上通过的距离的多少来体现；而通量研究对象是单位面积上所有的点，可以称为面积，所以，第二种方式是以在单位时间内单位面积上通过的点的总量的多少来体现快慢。说白了，第一种方式以长度大小来体现快慢，第二种方式以体积大小来体现快慢。由于体现快慢，这里的长度和体积并不真的是必须经过的长度和体积，而是某个时刻的拥有这种长度或体积的能力。
我觉得，通量本质上仍是一种距离，一种面积在单位时间内通过的距离的累积。】
例如，一种流体的速度可以参照着各个质点的实际速度来加以研究，也可以参照着通过任一固定面积的流体数量来加以研究。
第一种方法，我们要求知道位移。一旦我们企图形成一种分子理论，我就必须应用第二种方法了。
在电的流动事例中，我们根本不知道有关导体中的电密度或电速度的任何东西，我们只知道按照流体理论将对应于密度和速度之乘积的那个值。因此，在所有的这种事例中，我们必须应用测量通过面积之通量的那种更普遍的方法。
在电科学中，电动强度和磁强度属于第一类，它们是参照直线来定义的。当我们想要指明这一事实时，我们可以把它们叫做“强度”。
另一方面，电感和磁感，以及电流，却属于第二类，它们是参照面积来定义的。当我们想要指明这一事实时，我们将称它们为“通量”。
这些强度中的每一种强度，都可以被认为可以产生或倾向于产生它的对应通量。例如，电动强度在导体中产生电流，而在电介质中则倾向于产生电流。它在电介质中产生电感，而且或许在导体中也产生电感。在同样的意义上，磁强度产生磁感。
【编者评：强度其实指的研究对象是点，以线为研究方式，比如力，速度都是一种“强度”。通量的研究对象是面积，以体积为研究方式，比如电流，热量。两者本质相同，其实都是单位时间内通过了一段距离。线是点通过的距离形成的，体积是面积通过的“距离”。】
13．〕在某些事例中，通量简单地正比于强度并和强度同向，但是在另一些事例中我们只能断定通量的方向和量值是强度的方向和量值的函数。
通量的分量是强度分量成线性函数，即共有三个强度分量函数，每个强度分量又由三个通量分量与系数的乘积的总和组成，所以，一般共有九个系数，确定着强度和通量之间的关系。
通量（铁的磁化）不是磁强度的线性函数。然而，在任何情况下，强度和通量在其方向上的分量的乘积都给出一个很有科学重要性的结果，而且这个乘积永远是一个标量。
【编者评：这里的强度我想是指力的大小，通量指的是一种在力的作用下“面积”通过的位移。通量与强度不一定成正比，即可能是一次函数，但不一定是正比例的线性函数。但麦克斯韦提出非常重要的结论：强度与通量在强度方向上的分量的乘积是一个标量。】
14．〕有两种适用于这两类矢量或向量的常常出现的数学运算。
在强度的事例中，我们必须沿着一条线计算线元和强度在线元方向上的分量的乘积的积分。这种运算的结果叫做强度的线积分。它代表沿该线对物体做的功。在某些事例中，线积分不依赖于线的形状而只依赖于它的两个端点的位置，这种线积分叫做势。
在通量的事例中，我们必须在一个曲面上计算通过每一面积元的通量的积分。这种运算的结果叫做通量的面积分。它代表通过曲面的量。
有些曲面上没有通量。如果两个这样的曲面相交，则它们的交线是一条通量线。在通量和力同向的那些事例中，这样一种线常常被称为力线。然而，更正确的办法是在静电学和磁学中把它们叫做感应线，而在动电学中把它们叫做流线。
【编者评：太妙了！对于强度这类的矢量，本来就是直线形式，进行强度的线积分，这种计算非常自然，这就解释了为什么要进行强度与通量在强度方向上的分量进行乘积的计算，因为通量就是一种“距离”。强度与通量的分量乘积就相当于强度的线积分。】
关于线积分
16．〕一个矢量沿一条线的分量的积分，这种运算在物理科学中是普遍重要的，从而应该清楚地加以理解。
设x、y、z是一条线上一点P的坐标，而从某点A量起的线的长度是s。这些坐标将是单一变数s的函数。
设R是一个矢量在P点上的数值，并设P点处曲线的切线和R的方向成一个角度ε，则Rcosε就是R沿曲线的分量，而积分就叫做R沿曲线s的线积分。
【编者评：R在这里代表P点受到的一个力的作用的大小（比如磁力），切线方向代表P点合力作用后运动的趋势的方向（运动趋势的路径或位移），所以，Rcosε当然是有效的分量，沿曲线的积分其实就相当于功。】
关 于 势
量Ψ是点的位置的一个标量函数，从而是不依赖于各参照方向的。它叫做势函数。
当存在一个势时，势为常数的那种曲面就叫做等势面。在这种面上的任一点上，R的方向和该面的法线相重合，而如果n是P点上的一条法线，则
势这个名称是首先由格林赋予这个函数的，他把这个函数当成了处理电学问题的基础。
【编者评：由公式看得很清楚，势是一种趋势，微分就是很好的趋势的表达式，与法线的微分得到一个矢量，比如力的强度（或大小），方向当然与法线相同。由于沿面的法线方向是有效方向，这就造成了从某点出发的势不会是一系列的平行线，而是发散线，这就是为什么等势面是曲面，而不是平面的原因。】
在引力理论中，势和此处所用的函数异号，从而任意方向上的合力就是由势函数沿该方向的增加率来量度的。在电和磁的研究中，势被定义得使任意方向上的合力由势在该方向上的减少率来量度。这种使用表示式的办法使它可以和势能的正负号相适应，因为当物体沿着作用在它上面的力的方向运动时势能总是减小的。
17．〕势和由它如此导出的矢量之间的关系的几何学本性，通过哈密顿发现算符形式而得到了很大的澄清；利用这种算符，可以由势导出矢量。
正如我们已经看到的那样，矢量沿任何方向的分量，就是势对沿该方向画出的一个坐标的一阶导数并变号。
按照我们以上的说法，如果Ψ是势，某个矢量与Ψ的关系可以写成：
算符∇可以诠释为指示我们，沿着三个正交的方向测量Ψ的增加率，然后把这样求得的各量看成矢量，并把它们合成起来成为一个量。但是我们也可以认为它是指示我们首先找出Ψ在哪个方向上增加得最快，然后沿着那个方向画出一个矢量来表示这一增加率。
拉梅先生在他的《论反函数》（Traité des Fonction Inverses）一书中用了微分参数一词来代表这个最大增加率的量值，但是不论这一名词还是拉梅应用它的方式都不曾指示这个量既有大小又有方向。在少数情况下我将必须把这一关系说成纯几何的关系，那时我将把矢量叫做标量函数Ψ的空间改变量，用这种说法来既指示Ψ的最快增加率的大小，又指示其最快增加的方向。
【编者评：原来，矢量（像单位磁荷受到的磁力[也可称之为磁力强度]）其实是势的最大最快增加率的量值，并指示了最快增加的方向。难道力并不是先于势而存在，只是因为产生了势，才感觉有力的产生？势却并不像运动一样可以感知到，只有通过势产生的力并在做功才知道势的存在？像磁力一样的矢量竟是势函数Ψ的参数，它反映了势的增加率。这让我想起重力加速度g，g与m相乘就得到竖直向下的重力。那么，g就是一个矢量，它就是一个参数，它反映了势的增加率，而且是最快增加率，并指示其最快增加的方向。所以，g是一种力的强度，也是一种势函数的系数或参数，对于单位质量的物体而言，g就代表了力的作用的大小。
既然力是由势产生的，那么势是如何产生的呢？或者说，势这种趋势是如何产生的，以何种形式存在。比如，非闭合的导体在磁场中切割磁感线获得电动势，我的疑问是，导体中的电荷获得电动势是以何种形式存在在电荷之中？我目前只能想像成，电荷内部像有一个弹簧，当导体在做切割磁感线时，电荷并没有运动，但它的内部的弹簧却被压缩获得电动势，一旦导体与外部电路形成电势差，电荷内的弹簧对外部电路的电荷就会产生“类似弹力”的作用，电荷之间形成水波一样的运动，也就形成电流。而且我还想，导体反复做切割磁感线运动，并不能无限增加导体内电荷的电动势，因为电荷内的“弹簧”并不能无限压缩。】
曲面上和空间域中的环流性
19．〕定理一 如果在一个非循环域中到处都有 Xdx＋Ydy＋Zdz＝-DΨ，则沿着域内任一路径所取的从点A到点P的线积分之值都相同。
20．〕 定理二 如果在一个循环域中方程 Xdx＋Ydy＋Zdz＝-DΨ到处得到满足，则沿着在域内画出一条曲线从A到P的线积分一般并不是确定的，除非A和P之间的交通渠道已经指定。
21．〕设dS是一个曲面上的面积元，而ε是向曲面的正方向画出的一条法线和矢量R之间的夹角，则∬RcosεdS叫做R在曲面S上的面积分。
定理三 通量指向一个闭合曲面内部的面积分，可以表示成在曲面内部所求敛度的体积分。
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