9.2 阿基米德原理

【物理名词】

物体排开液体的体积

 

导入

假如我们要设计一艘适合在长江流域通行的万吨货轮,那么我们要面对的一个核心问题是:这艘货轮的空间体积要设计成多大?

所谓万吨货轮是指货轮的最大载货的质量是10000吨,即重量是1×105N。意味着货轮装满货物时受到的浮力至少要达到1×105N。虽然我们已经知道增大物体浸入液体中的体积可以增大浮力,但并不确切地知道:物体浸在液体中体积达到多大值时,产生的浮力可达到1×105N?


所以,这节课我们来探究浮力大小与物体浸入液体中的体积之间的定量关系。

所谓定量关系,是指两个量之间存在的数学上的关系。

表面上看,我们要探究的问题非常简单,浮力的大小可以利用《认识浮力》章节里介绍的“称重法”测出。

至于物体浸入液体中的体积大小,我们可以选择形状规则的圆柱体。分别让物体浸没四分之一,四分之二,四分之三及全部,如图9-2-2所示。


现在,我们开始实验。

我们很快发现,如果让物体浸入液体中的体积准确达到物体体积的四分之一(误差在0.1cm3左右),我们根本没办法准确地做到。

只有当物体完全浸没时,我才可以准确知道此时的浸入在液体中的体积是多少,因为此时物体浸入液体中的体积与物体的整个体积相等。

因此,我们目前最大的困难是如何准确地测量出物体浸入液体中的体积?

 

一、什么是物体排开液体的体积

我们发现,一个物体浸入装满水的杯子中,水总 会溢出。

现在我们有一个水位达到溢水口的杯子(此杯子叫溢水杯),把一个物体浸入溢水杯中,当物体浸入水中的体积越大,杯子中的水受到排挤而从杯子里溢出来的体积也越大,如图9-2-3所示。

当物体完全浸没后,小烧杯收集到了所有溢出来的水的体积,然后用分度值为0.1cm3的量筒来测量溢出的水的体积。 

我们发现,物体浸入在液体中的体积与溢出来的液体的体积相等。

一般地,我们将溢水杯中溢出来的液体体积叫做着物体排开液体的体积。则存在这么一个等式:

物体浸入液体中的体积 = 物体排开液体的体积

用符号表示:

V=V

我们终于发现了可以准确地测量物体浸入液体中的体积的方法了。

现在,无论我们将物体浸入多少,都可以借助溢水杯和量筒准确测出物体浸入液体中的体积。

需要注意的是,如果杯子中的水没装满,浸入物体后,液体上升部分的体积也叫着物体排开液体的体积。所以,物体排开液体的体积不一定等于溢出来的液体体积。只有当溢水杯中的水满的,溢出来的液体体积才会与排开液体的体积相等。

用物体排开液体的体积来代替物体浸入液体中的体积的方法,属于等效替代法。这与曹冲称象的故事中,用石头的重量代替大象的重量的方法是一样的。

所以,我们要探究浮力的大小与物体浸入液体中的体积的定量关系的实验可以转化为——探究浮力的大小与物体排开液体的体积的定量关系。

 

二、探究浮力的大小跟物体排开液体的体积的定量关系

1、探究浮力的大小跟物体排开液体的体积的定量关系

根据上述的讨论,我们需要的实验器材:一个数显测力计、一个溢水杯,一杯水和一块绑着细线的重物等。

实验步骤的设计:

(1)用测力计测出重物的重力G

(2)将溢水杯装满水,

(3)将重物缓缓地浸入水中,浸入一部分后,记下此时的弹簧测力计的示数F,并用量筒测出溢出水的体积V,把数据填入表格中。

(4)增加浸入水中的体积,重复步骤(3)。

表格设计如下:


按照实验步骤进行实验,并收集数据。

我们将F与V进行比值计算,在误差范围内,比值是一个定值,等于9.8×103N/m3

我们的实验得到了结论为:浮力的大小与物体排开液体的体积成正比

有了这个规律,我们现在可利用它来帮助我们求出万吨货轮的空间需要多大了。

根据上式,则有

也就是说,万吨货轮的内部空间的体积至少超过10000m3

我们似乎可以结束实验了,但你是否发现该结论只是针对针对水而言。

如果我们换用酒精,或盐水来做试验,浮力与排开液体的体积是否仍成正比?它们的比值是否仍是9.8×103N/m3呢?

于是,我们将上面实验中的水换成酒精再重复实验,我们发现浮力的大小与排开酒精的体积真的仍成正比,不过它们的比值却是7.84×103N/m3

但至少,我们已经可以得到这么一个科学的结论:同种液体,浮力的大小与物体排开液体的体积成正比

不同种液体,浮力大小与排开液体的体积的比值是不同的,这说明了什么呢?

我们猜想,浮力的大小还与液体密度有关。

所以,我们完全有必要探究浮力的大小与液体密度的定量关系。

 

2、探究浮力的大小与液体密度的定量关系

我们如何探究浮力的大小与液体密度的定量关系呢?

实验方法采用“控制变量法”,即控制物体排开液体的体积相同。

浮力的大小仍用“称重法”,液体的种类分别选择水、酒精、盐水,装置仍采用图9-2-4。

 

具体的实验步骤:

(1)用弹簧测力计测出物体的重力G

(2)让物体分别浸没在已知密度的水、酒精、盐水中,测出物体浸没在液体中的弹簧测力计的示数F,并将数据记录在表格中。


按照实验步骤并收集数据。

对数据进行分析,我们发现,浮力的大小与液体密度的比值是一个定值。

这说明,当物体排开液体的体积一定时,浮力的大小与液体密度成正比

而且,我们发现,比值正好是物体排开液体的体积的9.8倍。

数值9.8正好约是g值的大小。如果是这样的话,则应该有这么一个等式:

我们可以将这个等式变形为:

分析这个等式的右边,我们有趣的发现,等式的右边其实是物体排开液体的重力。

于是,我们猜想,物体在液体中受到的浮力与物体排开液体的重力相等。

所以,我们很有必要探究物体在液体中受到的浮力的大小与物体排开液体的重力的大小是否相等?

 

三、探究浮力的大小与物体排开液体的重力的大小是否相等

进行这个实验,我们只关注两件事:浮力的测量和物体浸入液体中时排开的液体重力的测量。

我们需要的器材如图9-2-5所示。


实验步骤的设计:

(1)先用测力计测得空的小桶的重量G和钩码的重力G,并将数据填入表中;

(2)把钩码缓缓浸入装满水的溢水杯中,用小桶收集溢出的水,用测力计测出小桶与水的总重量G,同时读取钩码浸入水中时的弹簧测力计的示数F,并将数据填入表中;

(3)用G=G-G等式求得钩码每次排开水的重力G,用F=G-F等式求出浮力的大小,将计算的结果填入表中。

通过比较F与G,在误差允许的范围内,

更换不同的液体再重复实验,F与G的大小仍相等。

我们再用能浮在水面的木块代替钩码,重复上述实验,F与G的大小仍相等。

当用木块做此实验,需要注意的是,我们需要多个不同重量的木块,每次实验都是让木块漂浮在水面上(因为此时它受到的浮力的大小与木块的重力大小总是相等的,所以就不需要用“称重法”来测量浮力的大小了)。

 

于是,我们得到了一个具有普遍适用的结论:物体浸在液体中所受到的浮力与物体排开液体的重力相等

这个结论就是著名的阿基米德原理

需要说明的是,阿基米德原理也适用于气体。

例如,热气球受到的空气施加的浮力等于被气球排开的空气所受到的重力。

我们的猜想得到了验证,等式

是一定成立的。

这个等式只不过是阿基米德原理的展开式而已。

 

四、阿基米德原理的应用

现在,我们可以利用阿基米德原理来解决一些问题了。

1、利用阿基米德原理求物体的体积

例题 现在我们想制作一个热气球,这个热气球要能承载600kg(人、球囊和热源的总质量),请问这个热气球升空时至少要制作成多大的体积。(热气球球内的空气加热至100℃时会变成密度为0.95kg/m3的气体,而空气的密度为1.29kg/m3)

已知:ρ=0.95kg/m3    ρ=1.29kg/m3   m=600kg

求:V

解:因为热气球要升空,浮力至少要等于热气球的载重与热气球球内的热气体的重量之和,所以

根据阿基米德原理,有F=G排,空,则上式可变为

将上式展开,得

因为V=V,所以对上式进行整理,并代入数据可得

答:热气球的体积至少要有1765m3

例题  世界上最大的核潜艇是俄罗斯的“台风级”弹道导弹核潜艇。台风级潜艇在水下潜行时的总重量高达46000吨。请问这艘潜艇的体积有多大?

已知:m=46000t=4.6×107kg  ρ=1×103kg/m3

求:潜艇的体积V

解:因为潜艇处于完全浸没的悬浮状态,F=G,

则有V=V,所以,潜艇的体积

答:这艘潜艇的体积为4.6×104m3

 

2、利用阿基米德原理求物体的密度

例题  第19次南极科学考察过程中,我国科考队员徐霞兴在南极格罗夫山地区发现了一块陨石,编号为“GRV020052”。如果我们要对陨石进行密度测量,但密度的测量过程并不一定必须使用天平和量筒,其实使用一个高精度的数显测力计就可以快速地完成了对陨石密度的测量。我们的做法是:首先将陨石悬挂于弹簧测力计下,读出弹簧测力计的示数是0.121 N;然后将陨石全部浸没于纯水中,读出弹簧测力计的示数是0.083N。陨石的密度是多少?

已知:G陨=0.121N  F’=0.083N   ρ=1×103kg/m3

求:陨石的密度ρ陨

解:此题的关键是求邮陨石的体积,由于陨石完全浸没在水中,则V=V,

而V可根据阿基米德原理的公式可以求出,

我们根据密度公式,并上式代入,则我们有下面这个等式

将数据代入,则求得

ρ陨≈3.2×103kg/m3

答:陨石的密度约为3.2×103kg/m3

这个例题告诉我们,通过阿基米德原理来测算某种物质的密度也是非常巧妙的。

我们甚至有必要记住上面这个等式

不过要注意的是,使用这种测算密度的方法需要很多前提条件:(1)只适合在水中能下沉的物体;(2)液体密度是已知的;(3)该物体的体积与物体排开液体的体积的关系是已知的(比如此题中物体完全浸没时,物体的体积与物体排开液体的体积是相等的)。

从上面的例题可以看出,阿基米德原理的应用很多时候不是用来求出浮力的,而是可以帮助我们求出物体的体积或密度,或求出液面以下的体积(其实就是排开液体的体积),还可以帮助我们求出某种液体的密度。

 

【本节我们学习的物理规律】

1、物体排开液体的体积

物体排开液体的体积与物体浸入液体中的体积相等。

2探究浮力大小与物体排开液体的体积的定量关系

同种液体,浮力的大小与物体排开液体的体积成正比。

3、探究浮力大小与液体密度的定量关系

当物体排开液体的体积一定时,浮力的大小与液体密度成正比。

4、阿基米德原理

物体浸在液体中所受到的浮力与物体排开液体的重力相等。

5、阿基米德原理的应用——求物体排开液体的体积

6、阿基米德原理的应用——求物体的密度(有前提条件)

【课后练习题】

1、弹簧测力计下挂一长方物体,将物体从盛有适量水的烧杯上方离水面某一高度处缓缓下降,然后将其逐渐进入水中如图(甲),图(乙)是弹簧测力计示数F与物体下降高度h变化关系的图象,则下列说法中正确的是(    )

  1. 物体的体积是500cm3
  2. 物体受到的最大浮力是5N
  3. 物体的密度是2.25×103kg/m3
  4. 物体刚浸没时下表面受到水的压力是9N

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